Donc, dans le plan méridien l'hydraulicien doit définir pour l'aubage, les quatre limites du carreau : la face hydraulique du plafond ou moyeu et la face hydraulique de la ceinture ou manteau, sur lesquelles l'écoulement glisse ; le bord d'attaque et le bord de fuite qui constituent des frontières de révolution que l'écoulement doit traverser pour effectuer son travail.

Ces limites forment un carreau virtuel, dans le plan méridien, sur lequel on peut interpoler. Les paramètres normalisés \((s,t)\) de ce carreau varient chacun entre \(0\) et \(1\), avec l'origine \((0,0)\) localisée à l'intersection du bord d'attaque avec la ceinture. L'abscisse \(s\) est dans le sens de l'écoulement et l'ordonnée \(t\) dans le sens transverse.

Sur le plan méridien, entre le plafond et la ceinture, on peut générer des courbes bidimensionnelles à des iso-\(t\) spécifiés, résultants des trajectoires du fluide, transitant du bord d'attaque vers le bord de fuite. Ces courbes à iso-\(t\) sont approximativement parallèles entre elles et avec le plafond et la ceinture.

Pour une courbe simulant une ligne de courant donc à \(t\) constant, on peut exprimer en fonction de \(s\) toutes les coordonnées géométriques de tous les domaines et transformées. Ainsi, à un \(s\) donné on trouve les coordonnées du point \((r, theta, z)\) en trois dimension et ainsi les coordonnées \((r, z)\) sur le plan méridien.

Dans le plan de la cascade calculé en (u,v), l'hydraulicien définit la courbe évoluant pour s entre 0 et 1, en exprimant les valeurs limites \(\theta(0)\) et \(\theta(1)\).

on obtient directement \(\theta =v +\theta_0\) avec \(v=v(s)\) et où \(\theta_0\) indique où se trouve la position angulaire du point du bord d'attaque.

De la même façon pour u on obtient \(u(0)=0\) et \(u(1) = m(1) \int_0^1{1\over r} ds\)

Entre les deux valeurs limites pour s=0 et s=1, on doit définir la loi de distribution des angles. Ce qui est en fait le moment crucial de la définition du tracé hydraulique.

L'évolution de la courbe en \(u-v\) du bord d'attaque au bord de fuite qui doit être défini par la mécanique des fluides mais les limites u(0), u(1), v(0) et v(1) ne peuvent être modifiées autrement qu'en modifiant les limites définies dans le plan méridien.

Pour une même valeur de \(s\) on obtient \(r\), \(z\), \(\theta et v\).

Pour paramétrer chacun des filets fluides, on peut avantageusement utiliser une courbe de Bézier. Sur la figure, la position des pôles définit entièrement le filet. On y observe que l'angle évolue de -25 degrés à -65 degrés entre les bords d'attaque et de fuite. Pour les besoins de la représentation dans un logiciel de géométrie 3D (ici FreeCAD), on a multiplié les valeurs u et v par 1000 pour une présentation graphique en mm même si ce sont des données adimensionnelles.

Notre courbe médiale peut donc être tracée dans le domaine 3D.

Cette courbe doit ensuite être habillée de l'épaisseur du tracé.

Pour bâtir la surface de l'aubage, il faut ajouter une loi d'épaisseur à l'âme. Pour ce faire, on doit travailler dans le domaine qui respecte la conservation des longueurs.

Il s'agit du plan des coordonnées (m, n) qui comme on l'a vu sont définies :

Avec \(m\) la longueur curviligne dans le plan méridien qui s'exprime en fonction de \(s\) :

• \(m=m(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dr \over ds}\right)^2+\left({dz \over ds}\right)^2} ds\)

Et \(n\) la longueur curviligne dans le sens transverse qui s'exprime aussi en fonction de \(s\) :

• \(n=r\theta=r(s)\theta(s)\) et plus exactement :

  \(n(s)=n(0)+\int_0^s {d v(s) \over r(s)} ds\)

Il en résulte donc que la longueur réelle en 3D qui est égale à la longueur dans le plan des longueurs s’exprime ainsi :

• \(l=l(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dm \over ds}\right)^2+\left({dn \over ds}\right)^2} ds\)

Comme on l'a vu lors de la déconstruction du profil 3D pour obtenir l'âme et la loi d'épaisseur, on utilise la surface de révolution correspondant au filet de l’âme dans le plan méridien.

La mise à plat dans le plan des longueurs de la surface de révolution accompagnée du filet de l’âme de l’auge nous sert de plan de travail. Le filet de l’âme représente le centre des cercles dont le rayon correspond à la loi d’épaisseur. De proche en proche on construit donc les faces intrados et extrados en à partir de l’enveloppe des cercles.

La loi d’épaisseur s’exprime dans un plan virtuel avec comme abscisse \(s\) variant de 0 à 1 et comme ordonnée \(e\) qui représente une fraction de \(s\).

La coordonnée \(s\) représente l’évolution en longueur du profil alors que le \(e\) correspond à son épaisseur.

La loi d’épaisseur est modélisé dans un plan virtuel des épaisseurs.

L’épaisseur \(e\) y est représenté comme une fonction de la coordonnée \(s\) donc \(e=e(s)\). Par commodité, on peut définir 2 demies épaisseurs : \(e_i\) pour l’intrados et \(e_e\) pour l’extrados. On note que \(e_i\) est un chiffre négatif.

Dans le plan méridien à un filet positionné à iso-t, la loi d’épaisseur y est définie par \(e_i(s)\) et \(e_e(s)\) tout le long du filet. Toutefois, il y a un facteur d’échelle entre le plan virtuel des épaisseurs et l’épaisseur réelle.

Pour la surface de révolution d’intérêt, pour le filet de l’âme à la coordonnée \(s\) dans le plan méridien on a les coordonnées correspondantes : \(r(s)\), \(\theta(s)\), \(z(s)\), \(m(s)\), \(n(s)\). Ce filet de l’âme a une longueur totale \(l_a(s=1)\) qui permet d’exprimer l’abscisse curviligne comme une fonction de \(s\).

Il nous faut donc trouver les coordonnées correspondantes pour l’intrados et l’extrados.

Dans la figure suivante on a représenté un élément de tracé comportant une âme et un intrados et un extrados.

L’intrados et l’extrados s’écartent de l’âme par la loi d’épaisseur. Ici on a représenté la même loi pour les deux faces ce qui implique que l’âme se trouve bien au milieu du tracé.

Pour l’âme, la longueur infinitésimale de l’élément s’exprime comme étant :

\(l_a=l_a(s) = \int_0^s \sqrt {\left({dm_a \over ds}\right)^2+\left({dn_a\over ds}\right)^2} ds\)

Sachant que la longueur réelle du filet de l’âme dans le plan des longueurs est aussi celle dans le domaine 3D. On peut calculer un facteur d’échelle pour calculer l’épaisseur réelle \(e_r(s)\) à la coordonnée \(s\)  :

\(e_{re}(s)=e_e * l_a(s)/l_a(s=1)\) pour l’extrados.

\(e_{ri}(s) = e_i* l_a(s)/l_a(s=1)\) pour l’intrados.

La position angulaire de l’âme dans le plan des longueur \((n,m)\) est \(\zeta=\arctan \frac{dn}{dm}\).

Coordonnées \(m\) et \(n\) :

On peut donc calculer maintenant les valeurs suivantes pour l’extrados :

\(dm_{ex}=e_{re}\sin (\zeta)\)

\(m_{ex}=m_a-dm_{ex}\)

\(dn_{ex}=e_{re} \cos (\zeta)\)

\(n_{ex }= n_a+dn_{ex}\)

... et l’intrados :

\(dm_{in}=e_{ri}\sin (\zeta)\)

\(m_{in}=m_a-dm_{in}\)

\(dn_{in}=e_{ri} \cos (\zeta)\)

\(n_{in }= n_a+dn_{in}\)

On peut maintenant compléter le profil dans le plan des cascades.

À ce stade, à la coordonnée \(s\) correspond, pour l'âme du profil \(r(s)\), \(\theta(s)\), \(m(s)\), \(n(s)\), \(u(s)\) et \(v(s)\).

Pour les face intrados et extrados nous devons calculer les valeurs correspondantes à la coordonnée \(s\). Donc pour une même valeur de \(s\), on définit une âme, un intrados et un extrados.

Coordonnées \(r\) et \(z\)

En partant, la relation entre \(m\) et \((r,z)\) sur chacune de ces faces est une fonction mathématique exprimant le filet dans le plan méridien à la coordonnée \(t\) :

\(m(s) = meridien_{(t)} (r(s),z(s))\)

Il existe donc la fonction inverse :

\((r_{ex}(s),z_{ex}(s))= meridien^{-1}_{(t)} (m_{ex}(s)\) pour l’extrados et

\((r_{in}(s),z_{ex}(s))= meridien^{-1}_{(t)} (m_{in}(s)\) pour l’intrados.

Coordonnée \(\theta\)

Pour \(\theta\) on a vu que\( n(s)=r(s)\theta(s)\) on peut donc en déduire que

\(\theta_{ex}(s)=\frac{n_{ex }(s)}{r_{ex}(s)}\) et

\(\theta_{in}(s)=\frac{n_{in }(s)}{r_{in}(s)}\)

Les coordonnées m_{ex} , n_{ex } , m_{in} , n_{in} sont déjà connus et il reste à calculer les coordonnées \(u\) et \(v\).

Coordonnées \(u\) et \(v\)

Par définition on a :

\(u = \int_0^s{{dm\over ds}\over r} ds = \int_0^m{1\over r} dm\) et

\(v(s)=\theta(s)\)

Qu’on peut appliquer aux faces extrados et intrados :

\(u_{ex}(s) = \int_0^s{{dm_{ex}\over ds}\over r_{ex}(s)} ds = \int_0^{m_{ex}}{1\over r_{ex}(s)} dm_{ex}(s)\)

\(v_{ex}(s)=\theta_{ex}(s)\)

\(u_{in}(s) = \int_0^s{{dm_{in}\over ds}\over r_{in}(s)} ds = \int_0^{m_{in}}{1\over r_{in}(s)} dm_{in}(s)\)

\(v_{in}(s)=\theta_{in}(s)\)

On transpose ensuite les profils intrados et extrados du plan de cascade au domaine 3D.

Coordonnées \(x\), \(y\) et \(z\).

On a donc toutes les coordonnées exprimées en fonction de \(s\).

Donc, pour l'âme, l'intrados et l'extrados :

\(x_{in}(s)=r_{in}(s)\cos(v_{in}(s))\)

\(y_{in}(s)=r_{in}(s)\sin(v_{in}(s))\)

\(z_{in}(s)\)

\(x_{ex}(s)=r_{ex}(s)\cos(v_{ex}(s))\)

\(y_{ex}(s)=r_{ex}(s)\sin(v_{ex}(s))\)

\(z_{ex}(s)\)