Formulation numérique inverse des deux plans conformes 2D vers la représentation dans le domaine 3D
Relation entre les plans virtuels pour obtenir le domaine 3D
Les plans virtuels sont paramétrés par le concepteurs et ensuite combinés pour définir dans le domaine 3D la géométrie du profil de l’aubage.
Pour l’âme de l’aubage, on définit d’abord le plan méridien de l’aubage puis on génère le plan de la cascade avec la transformation de Beltrami. En parallèle on définit le plan de la loi d’épaisseur. La combinaison de tous ces plans nous permet d’élaborer le plan des longueurs pour définit les faces intrados et extrados. Ensuite on élabore le profil en 3D.
Fondamental : Définition dans le plan méridien
Il faut d'abord tracer les limites du tracé dans le plan méridien. On obtient les quatre courbes limites qui définissent le contour du tracé.
Donc, dans le plan méridien l'hydraulicien doit définir pour l'aubage, les quatre limites du carreau :
la face hydraulique du plafond ou moyeu et
la face hydraulique de la ceinture ou manteau, sur lesquelles l'écoulement glisse ;
le bord d'attaque et
le bord de fuite qui constituent une frontière que l'écoulement doit traverser pour effectuer son travail.
L'hydraulicien doit déterminer exactement la forme de ces limites. C'est là que des courbes de Bézier peuvent être avantageusement utilisées.
Ensuite, on utilise par interpolation dans le logiciel CAD[2] pour créer des courbes intermédiaires décrivant le transit du fluide entre les bord d'attaque et de fuite. On échantillonne chacune des courbes par une séries de point. Ces points de construction font partie de l'étape intermédiaire qui amènera la nouvelle géométrie en trois dimensions.
Pour chacune des courbes intermédiaires représentées par une série de points en \((r,z)\), on peut calculer :
les coordonnées (r,z) du bord d'attaque et du bord de fuite
la longueur curviligne \(m_i = \sum_{1}^{i}{\sqrt{(r_i-r_{i-1})^2+(z_i-z_{i-1})^2}}\)
Par exemple sur l'image suivante, la courbe considérée correspond à une coordonnée normalisé t=0,6. Son bord d'attaque et son bord de fuite correspondent respectivement aux coordonnées normalisées \((s=0,t=0,6)\) et \((s=1, t=0,6)\). Aussi l'échantillonnage correspond à des s spécifiques qui peuvent être avantageusement choisis équidistants. Ainsi s'il y a 9 points échantillonnés ils seront à \(s = 0 ; 0,125 ; 0,25 ; ... 1\) , c'est-à-dire par pas constant \(\Delta s = 0,0125\).
À cette étape à chaque point \(i\) échantillonné à égale distance le long de l’axe \(s\) du filet étudié, on connait les valeurs \(s\), \(m\),\(r\) et \(z\).
Complément : Complément aux limites du plan méridien
La position angulaire des bords d’attaque et de fuite doit être définie par le concepteur. On parle donc des angles \(\theta\).
Définition : Correspondance entre la variable normalisée \(s\) et la position \(i\) dans les tableaux des autres coordonnées
À chaque point \(i\) échantillonné à égale distance le long de l’axe \(s\) du filet étudié, on connait les valeurs \(s\), \(m\),\(r\) et \(z\).
Ainsi pour \(npt\) le nombre de points échantillonnés régulièrement le long d'un filet dans le plan méridien.
Le nombre de segment pour ce filet s'exprime donc \(nseg=npt-1\)
Le numéro de chaque point est identifié par i variant de \(0\) à \(npt\).
La coordonnée normalisée s se calcule :
\(s(i)={i\over nseg}\)
et le pas entre les point s'exprime :
\(\Delta s ={1\over nseg}\)
Pareillement, \({\Delta m = {m_{npt}\over nseg}}\).
Pour chaque point \(i\) les coordonnées \(r\) et \(z\) sont donnés par l’interpolation effectué par le logiciel FreeCAD.
Fondamental : Définition dans le plan de la cascade
À chacun des points \(i\), pour \(i\) numéroté entre \(0\) et \(nseg\), le long de l’axe \(s\) dans le plan méridien correspond un point \(i\) dans le plan de cascade. Cette correspondance est obtenue par la coordonnée \(m\) sur laquelle repose la définition de \(u\) et m provient du plan méridien comme on va le voir.
À partir des conditions hydrauliques et de son expérience, l’hydraulicien détermine l’évolution du tracé de l’âme dans le plan de la cascade \((u,v)\).
À l’intersection du bord d’attaque et de la ceinture, par définition, c’est l’origine de la position angulaire. À t=0 et s=0, \(\theta\) est nul, les autres valeurs de \(\theta\) à \(s=0\) ne sont pas nécessairement nulles et sont à définir par l’hydraulicien comme on l’a vu au paragraphe « Complément aux limites du plan méridien ».
Donc on pose pour le point \(i=0\) : \(s=0\), \(\theta(s=0)=\theta(i=0)\), \(v(0)=\theta(0)\) et \(u(0)=0\).
Au bord de fuite, donc à la coordonnée \(s= 1\) pour \(i=nseg\) , l’hydraulicien a défini les valeurs v(nseg) et u(nseg) :
\(v(nseg) = \theta(nseg)-\theta_0\)
\(u(nseg)= m(nseg) \sum_{i=1}^{i=nseg} {1 \over r(i)}(s(i)-s(i-1))\)
Donc on a ainsi déterminé, pour le plan de la cascade, les limites du tracé de la courbe considérée.
Pour tracer entre ces limites, l'hydraulicien doit déterminer la loi d'évolution de la position angulaire \(\theta\) entre les limites qui ont été déterminées. C'est là qu'une courbe de Bézier peut être avantageusement utilisée.
La courbe de Bézier peut maintenant être échantillonnée pour toutes les valeurs \(m(i)\) du plan méridien.
On obtient ainsi une série de points en \((u,v)\).
Où :
\(u(i)= m(i) \sum_{1}^{i} {1 \over r(i)}(s(j)-s(i-1))\)
\(v(i)\) est l'interpolation sur la courbe de Bézier qui correspond à la position de \(u(i)\) qui est définie suivant \(m(i)\).
Avec tous ces paramètres on a toute l'information pour tracer l'âme de l'aubage.
Fondamental : Définition dans le plan des longueurs
Pour éventuellement habiller l'aubage des épaisseurs souhaitées, il nous faut calculer la coordonnée \(n\) pour compléter la représentation dans le plan des longueurs. Ce plan est dédié aux respects des longueurs à obtenir dans le domaine en trois dimensions.
On a d'abord \(n(0) = r(0) * v(0)\) et pour les suivants :
\(n(i)=n(i-1) + r(i) * (v(i)-v(i-1))\)
On se rappellera ici qu'on ne peut utiliser la formulation \(n(i) = r(i) *v(i)\) parce qu'elle ne permet pas d'obtenir la conformité des longueurs entre le plan de cascade et le domaine 3D. La dérivée de la coordonnées transversale \(r\theta\) étant \(r d\theta\) et non \(d(r\theta)\).
Rappel : Résumé des paramètres nécessaires au tracé de la turbines
Dans le plan méridien
L'hydraulicien a établi le contour de l'aubage qui forme un carreau déformé. Chacun des côtés du carreau est une courbe de Bézier dont on a déterminé les pôles.
Il a déterminé le nombre de filets.
Il a déterminé le nombre de points par filet.
Il a déterminé par calcul les limites \(u_0\), \(u_n\), \(v_0\), \(v_n\) du plan conforme \(u-v\).
Dans le plan de cascade (u,v) conforme en angle
Il a déterminé les pôles de la courbes de Bézier représentant l'évolution de la position angulaire pour chacun des filets.
Fondamental : Définition dans le plan des épaisseurs
Maintenant on est à l'étape finition. On doit habiller le voile, représenté par l'âme du profil, d'une épaisseur.
Pour cette étape, un plan virtuel des épaisseurs est créé pour définir la loi d'épaisseur ou plus exactement les lois de demie épaisseur. On se référera à la capsule Génération de profil 2D pour la théorie sur la construction du profil à partir des lois de demie épaisseur.
La loi de demie épaisseur est modélisée dans un plan virtuel 2D des épaisseurs. On utilisera à cette fin les outils du modeleur géométrique pour construire le profil 2D à partir d'une forme à pôle.
Entre le point 0 au bord d'attaque et le point 5 au bord de fuite, on définit la loi d’épaisseur.
Le point 0 est de point de départ où est défini la continuité entre les faces intrados et extrados au bord d’attaque.
Le point 1 permet de définir la tangence au bord d'attaque et la distribution de l'épaisseur locale dans son voisinage.
Le point 2 contribue à définir l'amplitude et la position de l'épaisseur maximale.
Le point 3 définit la distribution de l’épaisseur en direction du bord de fuite et la cambrure de la face dans son voisinage.
Le point 4 contribue à définir l’épaisseur au bord de fuite ainsi que la continuité entre les deux faces extrados et intrados.
Le point 5 est le point ultime correspondant à \(s=1\).
Sur la figure suivante, les points sont identifiés. La face extrados est celle du haut et l’intrados est celle du bas. Évidemment l’âme est la droite à \(e\) nulle et \(s\) variant de 0 à 1.
Remarque : Épaisseurs différenciées et troncature au bord de fuite
Dans la figure précédente on observe un profil fermé qui est propice à l’obtention d’un maillage de qualité pour le calcul numérique. On peut aussi tronquer le tracé à un proportion de la longueur totale pour obtenir un bord de fuite « rectangulaire ». Le profil hydraulique est remis à l’échelle pour que ce nouveau bord de fuite corresponde à la position \(s=1\).
Pour respecter l’esprit de la méthode, l’épaisseur du tracé \(e_{ex}\) qui définit la position de l’extrados est égale à l’épaisseur \(e_{in}\) qui définit la position de l’intrados. Toutefois, dans le logiciel on a laissé ouverte la possibilité de différenciation et définit deux lois d’épaisseur (ou plus exactement demie-épaisseur), une pour l’intrados et une pour l’extrados.
Dans la figure suivante, le tracé retenu est en cyan et on observe que les points de contrôle ne sont pas aux mêmes coordonnées \((s,e)\) pour l’intrados et l’extrados. De plus, la coordonnée \(s\) est mise à l’échelle pour que le bord de fuite tronqué (en cyan) termine à \(s=1\).
Fondamental : Application de la loi d’épaisseur dans le plan des longueurs
Comme développé dans Les transformations inverses des domaines 2D vers le domaine 3D, on obtient donc pour chaque point i correspondant à la coordonnée \(s= \frac{i}{nseg}\) les valeurs :
Aux coordonnées limites (\(s=0\) , \(i=0\)) dans le plan méridien pour l’âme (indice a) et pour le filet à la coordonnée t considérée :
\(m_a(0)=0\)
\(u_a(0)=0\)
\(v_a(0)\) provient de l’échantillonnage 3D de la position angulaire aux limites du plan méridien
\(r_a(0)\) et suivants proviennent de l’échantillonnage par FreeCAD du filet dans le plan méridien
\(z_a(0)\) et suivants proviennent de l’échantillonnage par FreeCAD du filet dans le plan méridien
\(n_a(0)=v_a(0)*r_a(0)\)
Aux coordonnées limites (\(s=1\) , \(i=nseg=npt-1\))
\(m_a(nseg)\) est la longueur du filet dans le plan méridien telle que mesurée par FreeCAD
\(\Delta m_a = \frac{m_a(nseg)}{nseg}\) c’est donc une valeur constante pour tout \(i\)
\(u_a(nseg) = \sum_{1}^{i}{\frac{\Delta m_a}{r_a(i)}}\)
\(v_a(nseg)\) provient de l’échantillonnage 3D de la position angulaire aux limites du plan méridien
\(r_a(nseg)\) provient de l’échantillonnage du filet dans le plan méridien
\(z_a(nseg)\) provient de l’échantillonnage du filet dans le plan méridien
\(n_a(nseg)=v_a(nseg)*r_a(nseg)\)
Et d’une façon générale, les variables \(r_a(i)\) et \(z_a(i)\) proviennent de l’échantillonnage du filet à la coordonnée \(t\) dans le plan méridien.
Dans le plan des longueurs on fait correspondre la variable \(m(nseg)\) à la corde retenue pour la conception de l’âme. Ainsi, on détermine le rapport d'échelle entre le plan des épaisseurs et la longueur du profil.
La longueur du profil de l’âme \(Lmn_a\) est calculée dans le plan des longueurs à partir de la sommation des vecteurs (\(\Delta m_a\),\(\Delta n_a\)). Elle correspond aussi à la longueur du profil dans le domaine 3D.
\(lmn_a=\sum_{1}^{nseg}\sqrt(\Delta m_a^2+\Delta n_a^2)\)
Ce qui permet d’obtenir le facteur d’échelle entre la longueur du profil et la position en x dans le plan des épaisseurs.
Puisque pour des raisons pratiques on différencie l’épaisseur extrados de l’épaisseur intrados on aura pour la face extrados, le facteur d’échelle :
\(Lmn_{ex}=lmn_a *LoiEpaisseurX_{ex}(nseg)\)
Pour la face intrados, le facteur d’échelle sera :
\(Lmn_{in}=lmn_a *LoiEpaisseurX_{in}(nseg)\)
Ces facteurs d’échelle permettent d’obtenir une loi d’épaisseur adaptée à la géométrie réelle.
\(LoiEpaisseurX_{rex}(i)=LoiEpaisseurX_{ex}(i)*Lmn_{ex}\)
\(LoiEpaisseurY_{rex}(i)=LoiEpaisseurY_{ex}(i)*Lmn_{ex}\)
\(LoiEpaisseurX_{rin}(i)=LoiEpaisseurX_{in}(i)*Lmn\)_{in}
\(LoiEpaisseurY_{rin}(i)=LoiEpaisseurY_{in}(i)*Lmn_{in}\)
Maintenant, il faut interpoler cette loi pour la synchroniser avec la coordonnée s dans le plan méridien. Il en résulte une série de points espacées également en abscisse :
\(e_{rex}(i)=interpo(LoiEpaisseurY_{rex}(i))\)
\(e_{rin}(i)=interpo(LoiEpaisseurY_{rin}(i))\)
Dans le tableau suivant, pour réduire l’écriture, pour chaque paramètre \(p\) , \(\Delta p = p(i)-p(i-1)\)
i variant de 1 à nseg | âme (indice\( _a\)) | extrados (indice\(_{ex}\)) | intrados (indice\(_{in}\)) |
\(s(i)\) | (1) \(s(i)=\frac{i}{nseg}\) | ||
\(m\) | (2) \(m_a(i)=\sum_{1}^{i}{\Delta m_a}\) | (7) \(m_{ex}(i)=m_a(i)-e_{rex}(i)\sin (\zeta(i))\) | (8) \(m_{in}(i)=m_a(i)-e_{rin}(i)\sin (\zeta(i))\) |
\(u\) | (3) \(u_a(i)= m_a(i) \sum_{1}^{i} {1 \over r(i)}\) | (9) \(u_{ex}(i)=u_a(i)+(m_{ex}(i)-m_{ex}(i-1))/r_{ex}(i)\) | (10) \(u_{in}(i)=u_a(i)+(m_{in}(i)-m_{in}(i-1))/r_{in}(i)\) |
\(v\) | (4) \(v_a(i)=FreeCAD (u_a(i))\) interpolation dans le plan de la cascade | (13) \(v_{ex}(i)=v_{a}(i)-(n_a(i)-n_{ex}(i))/r_{ex}(i)\) | (14) \(v_{in}(i)=v_{a}(i)-(n_a(i)-n_{in}(i))/r_{in}(i)\) |
\(n\) | (5) \(n_a(i)=r_a(i)v_a(i)\) | (11) \(n_{ex}(i)= n_a(i)+e_{ex}(i) \cos (\zeta(i))\) | (12) \(n_{in}(i)= n_a(i)-e_{in}(i) \cos (\zeta(i\) |
\(\zeta\) | (6) \(\zeta(i)=\arctan( \frac{\Delta n_a}{\Delta m_a}\) | ||
\(r\) | \(r_a\) | \(r_{ex}(i)=FreeCAD(m_{ex}(i))\) interpolation dans le plan méridien | \(r_{in}(i)=FreeCAD(m_{in}(i))\) interpolation dans le plan méridien |
\(z\) | \(z_{ex}(i)=FreeCAD(m_{ex}(i))\) dans le plan méridien | \(z_{in}(i)=FreeCAD(m_{in}(i))\) dans le plan méridien |
Fondamental : Construction du profil final dans le domaine 3D
À cette étape nous disposons de toutes les coordonnées des filets dans les plan des épaisseurs, des longueurs et de la cascade pour l'intrados, l'extrados et l'âme.
La construction du profil en 3D se calcule ainsi pour chacune des faces considérées (intrados, extrados, âme) :
x(i)=r(i)*cos(v(i))
y(i)=r(i)*sin(v(i))
z(i)
En complétant pour tous le filets et en assemblant on obtient le tracé de la roue.
